Gần 190 năm qua, trong toán học tồn tại một lớp bài toán mà giới nghiên cứu hầu như không còn tranh luận. Không phải vì nó đã được giải xong, mà vì nó được chứng minh là không thể giải theo cách hiểu cổ điển. Đó là các phương trình vi phân bậc 2 không có nghiệm giải tích tổng quát dưới dạng công thức đóng. Kết luận này xuất phát từ công trình của nhà toán học Pháp Joseph Liouville vào năm 1834 và được xem là một trong những nền tảng lý thuyết quan trọng của toán học thế kỷ XIX.
Mới đây, Ivan Remizov, nhà toán học người Nga đang công tác tại Đại học Nghiên cứu Quốc gia Trường Kinh tế Cao cấp HSE, đã công bố một phương pháp cho phép xây dựng nghiệm giải tích tổng quát cho chính lớp phương trình từng bị coi là “bất khả thi” đó. Công trình không phủ nhận kết luận lịch sử của Liouville, nhưng mở ra một cách tiếp cận mới, khiến cộng đồng khoa học phải xem xét lại ranh giới giữa điều “không thể” và điều “chưa được mô tả đúng”.
Phương trình vi phân bậc 2 đóng vai trò trung tâm trong việc mô tả các hiện tượng biến đổi theo thời gian và không gian. Từ chuyển động của vật thể, dao động cơ học, lan truyền sóng, cho đến các mô hình kinh tế và tài chính hiện đại, tất cả đều dựa trên những phương trình dạng này. Tuy nhiên, việc tìm nghiệm giải tích tổng quát cho chúng từ lâu được coi là nhiệm vụ bất khả thi, bởi nghiệm không thể biểu diễn bằng các hàm sơ cấp và các phép toán hữu hạn quen thuộc.
Kết luận của Liouville vào năm 1834 đã xác lập ranh giới đó một cách chặt chẽ. Trong khung toán học của thế kỷ XIX, nơi nghiệm giải tích được hiểu là một công thức đóng gọn gàng, kết luận này hoàn toàn chính xác. Vấn đề nằm ở chỗ, suốt gần 2 thế kỷ sau đó, khung khái niệm ấy gần như không được đặt lại khi đánh giá khả năng giải bài toán.
Ivan Remizov tiếp cận vấn đề từ một hướng khác. Thay vì tìm kiếm một công thức đóng theo nghĩa cổ điển, ông mở rộng khái niệm nghiệm giải tích, cho phép nghiệm được biểu diễn dưới dạng giới hạn hội tụ của một quá trình xấp xỉ có cấu trúc rõ ràng. Đây không phải là sự “lách luật” về mặt ngôn ngữ, mà là một bước đi phù hợp với tinh thần của toán học hiện đại, nơi nhiều đối tượng quan trọng không còn được mô tả bằng những công thức hữu hạn đơn giản.
Cốt lõi của phương pháp mà Remizov sử dụng là lý thuyết xấp xỉ Chernoff, một công cụ được phát triển trong thế kỷ XX và thường được áp dụng trong lý thuyết bán nhóm toán tử. Phương pháp này cho phép mô tả sự tiến hóa liên tục của một hệ thông qua tích của vô số bước xấp xỉ đơn giản, mỗi bước tương ứng với một khoảng thời gian cực nhỏ. Khi số bước tiến tới vô hạn và độ lớn mỗi bước tiến về 0, toàn bộ quá trình hội tụ về nghiệm chính xác của hệ ban đầu.
Trên nền tảng đó, Remizov kết hợp phép biến đổi Laplace để chuyển phương trình vi phân sang miền đại số phức, nơi cấu trúc toán học của bài toán trở nên dễ kiểm soát hơn. Bằng cách xây dựng một chuỗi các toán tử xấp xỉ có kiểm soát chặt chẽ sai số và chứng minh sự hội tụ của chuỗi này, ông đã tạo ra một biểu thức giải tích tổng quát cho lớp phương trình vi phân bậc 2 vốn bị coi là không thể giải.
Biểu thức này không phải là một công thức ngắn gọn theo nghĩa truyền thống. Tuy nhiên, nó có thể tính toán được, có thể cắt cụt để đạt độ chính xác mong muốn và quan trọng hơn, có giá trị lý thuyết tổng quát. Nói cách khác, bài toán không còn “bất khả thi” nếu chấp nhận một cách hiểu rộng hơn và hiện đại hơn về nghiệm giải tích.
Điều đáng chú ý là công trình của Remizov không mâu thuẫn với các định lý cổ điển. Theo tiêu chuẩn thế kỷ XIX, kết luận của Liouville vẫn đúng. Nhưng trong khung toán học hiện đại, nơi nghiệm có thể được định nghĩa thông qua các quá trình giới hạn có cấu trúc, kết luận “không thể giải” không còn mang ý nghĩa tuyệt đối. Chính sự dịch chuyển khung tư duy này khiến nghiên cứu của Remizov được đánh giá là một bước ngoặt.
Giới chuyên môn nhận định rằng tác động của công trình không chỉ dừng ở toán học thuần túy. Trong vật lý, nhiều hệ động lực phức tạp hiện nay vẫn phụ thuộc chủ yếu vào mô phỏng số. Việc có một biểu thức giải tích tổng quát giúp các nhà khoa học phân tích sâu hơn cấu trúc của nghiệm, nghiên cứu tính ổn định và các hiện tượng phi tuyến mà phương pháp số thuần túy khó thể hiện đầy đủ. Trong kinh tế học và tài chính, nơi các mô hình động ngày càng phức tạp, cách tiếp cận này mở ra khả năng cải thiện độ chính xác và khả năng kiểm soát sai số của các mô hình dự báo.
Công trình của Remizov cũng cho thấy vai trò của nghiên cứu nền tảng dài hạn. Ông nhận bằng tiến sĩ năm 2018 tại Đại học Quốc gia Moscow với đề tài liên quan trực tiếp đến xấp xỉ Chernoff, và tiếp tục theo đuổi hướng nghiên cứu này trong nhiều năm. Thành quả đạt được là kết quả của quá trình tích lũy bền bỉ, không chạy theo ứng dụng ngắn hạn hay xu hướng thời thượng.
Dĩ nhiên, phương pháp mới vẫn cần thời gian để được kiểm chứng và mở rộng. Các câu hỏi về phạm vi áp dụng, khả năng mở rộng sang các phương trình bậc cao hơn hoặc các hệ phi tuyến mạnh vẫn đang được đặt ra. Tuy nhiên, ngay cả khi những vấn đề đó chưa có lời giải cuối cùng, việc đưa một bài toán tồn tại gần 190 năm ra khỏi trạng thái “đã đóng” đã là một đóng góp đáng kể.
Trong lịch sử toán học, nhiều giới hạn từng được coi là tuyệt đối đã thay đổi khi công cụ và ngôn ngữ toán học phát triển. Trường hợp của Ivan Remizov là một minh chứng rõ ràng cho điều đó. Thay vì phủ nhận các kết luận cũ, ông mở rộng cách đặt câu hỏi, cho thấy rằng điều được gọi là “bất khả thi” đôi khi chỉ phản ánh giới hạn của một cách nhìn. Gần 190 năm sau Liouville, bài toán tưởng như đã khép lại một lần nữa trở thành một vấn đề sống, tiếp tục được nghiên cứu và phát triển trong toán học hiện đại.
Nguồn: Phan Việt
